计算机组成笔记

写在前面：本笔记侧重于概念和底层的理解。建议先夯实了基础再做题，事半功倍

当前进度：程序执行概览、整数表示与运算电路。 先认识一条指令的执行过程，再解释数怎样编码、加法怎样实现；寄存器与时钟的细节留待后续。

阅读路线：程序执行 → 数的表示 → 运算电路。

第一章：程序是怎样执行的

第一部分：计算机里的各部件怎样分工？

1. 计算机到底在干什么？

假设一家工厂接到订单，要把两批原料加工成一件产品。它需要有地方放原料、有机器加工、有运输通道，还要有人安排先后顺序。

计算机也是这样。先抓住三件事：存储数据、加工数据、搬运数据。

比如一行代码：

1

c = a + b;

在一个简化的机器模型里，相当于从存储位置取出 a 和 b，交给运算部件相加，再把结果保存起来。它涉及一连串实际的数据传送和状态变化，不能只用抽象的“算一下”来理解。

2. 五大功能部件各自负责什么？

• 运算器：工厂里的加工机器。 对数据做算术运算和逻辑运算。ALU（算术逻辑单元）是其中的重要部件，负责加法、与、或等操作。
• 控制器：安排生产的调度员。 根据指令决定现在该读哪个数据、做什么操作、把结果送到哪里。
• 存储器：仓库。 保存程序和数据，供执行时读取，也接收需要保存的结果。
• 输入设备：进料口。 把外部信息送入计算机，例如通过键盘输入内容。
• 输出设备：出料口。 把处理结果交给外部，例如显示到屏幕上。

⚠️ 易混点：控制器不等于运算器。 调度员安排“把这两份数据相加”，真正做加法的是运算电路。

CPU 通常包含运算器、控制器和寄存器等部件。不能把 CPU 理解成只有一个计算器，也不能把整台计算机都叫作 CPU。

3. 寄存器、内存、硬盘有什么区别？—— 手边工作台与仓库

如果每加工一步都要跑去远处仓库拿东西，工人再快也没用。所以工位旁边需要小工作台，常用材料先放在手边。

• 寄存器： CPU 内部的小型存储部件，像工位上的工作格，放当前操作数、地址或状态。
• 主存（内存）： 程序运行时的重要存储空间，像车间仓库，容量比手边工作格大。
• 辅存（如 SSD）： 用于长期保存文件和程序，像大仓库。程序和数据通常需要经过加载等过程，才能被 CPU 使用。

Cache 可以理解成 CPU 与主存之间的近处备料区，用来缓解速度差距。这里先分清角色，不展开其内部规则。

核心矛盾：速度、容量和成本很难同时做到理想。 存储层次就是围绕这个矛盾作出的安排。

第二部分：程序怎样变成机器指令？

1. 存储程序：把“加工步骤”也放进仓库

假设每加工一件产品，都要有人站旁边喊：“先拿 a，再拿 b，然后相加。”这就谈不上自动化。

解决办法是把操作步骤写成工单，让机器自己按工单执行。

存储程序思想：把程序的指令预先存入存储器，机器运行时自动取出并执行。 在经典冯·诺依曼模型中，指令和数据都以二进制形式存储。

⚠️ 同样是比特，不代表含义相同。 一张纸可以是加工说明，也可以是数量记录；机器取它来作指令还是作数据，要看执行上下文。

2. 机器指令是什么？—— 一张具体的加工工单

下面这条教学用汇编指令：

1

ADD R3, R1, R2

表示：

1

R3 ← R1 + R2

可以把它翻译成工厂语言：“取工作格 R1 和 R2 中的材料，做加法，把结果放进 R3。”

• 做什么： 加法。
• 输入在哪里： R1、R2。
• 结果放哪里： R3。

机器里保存的不是字符 ADD，而是对应的二进制编码。操作类型、寄存器编号等信息都要按规则编码。

ISA（指令集体系结构）就像机器对外公布的操作手册： 支持哪些操作、有哪些可用寄存器、执行应产生什么效果。具体 CPU 再用硬件实现这些约定。

3. 高级语言、汇编和机器指令是什么关系？

可以把高级语言想成“我要完成什么”的生产要求，汇编更接近逐条机器工单，机器编码则是硬件能够识别的格式。

例如前面的加法，在简化模型中可以写成：

1
2
3
4

LOAD  R1, [a]
LOAD  R2, [b]
ADD   R3, R1, R2
STORE [c], R3

底层过程：搬进来 → 计算 → 保存回去。 这只是教学示意，实际编译器可能利用寄存器中已有的数据，生成不同指令。

第三部分：跟着一条指令走完执行过程

1. PC 和 IR 为什么要分开？—— 工单位置与当前工单

工厂自动执行工单，需要同时知道两件事：去哪里拿下一张，以及现在手里拿的是哪一张。

• PC（程序计数器）： 保存取指所需的地址，像记录工单位置的指针。
• IR（指令寄存器）： 保存取出的当前指令，像工位上正在处理的工单夹。

⚠️ PC 不是“已经执行了几条指令”的计数器，也不是源代码行号。 它保存的是指令地址。

下面约定一个简单模型：按字节编址，每条指令占 4 字节，当前 PC 为 1008，该地址处是一条 ADD。这里只用于说明过程，不代表所有指令集都采用固定的 4 字节指令。

2. 取指：先把工单拿到手

CPU 根据 PC 中的地址取出指令，放入 IR。在本例的顺序执行过程中，PC 可以更新为 1012，为下一次取指作准备。

1
2

PC 给出 1008 → 取出指令 → IR 保存当前 ADD
PC 更新为 1012

为什么当前操作没做完，PC 就能先往后移？ 像工人已经把工单夹在面前，就可以先把取单指针移到下一张，当前工作不会因此丢失。具体更新时机由硬件设计决定。

3. 译码：控制器把工单变成具体动作

看到“把 R1 和 R2 相加”，控制器需要安排：

• 选择 R1、R2 作为输入。
• 让 ALU 执行加法。
• 选择 ALU 的结果作为写回数据。
• 允许 R3 接收结果。

控制信号就像车间里的开关和调度指令。 它决定哪些通路接通、哪个部件执行什么操作。数据通路负责搬运和处理，控制器负责协调它们。

4. 执行与写回：加工完，还得放到指定位置

假设 R1 保存 5，R2 保存 7。为了看清运算，只画低 8 位：

1
2
3
4

  00000101
+ 00000111
----------
  00001100

ALU 得到 12，再把结果写进 R3。

类比： 产品刚从加工机器出来，还不等于已经入库。必须送进指定工作格，下一步才能从那里取到它。

⚠️ ADD 写回 R3，不会自动写回内存中的 c。 示例里还需要 STORE，才能把 R3 中的结果存到 c 对应的位置。

5. 不同工单会走不同路线

JUMP 为什么能改变执行顺序？因为它改变了后续取指的位置。条件分支、循环等控制流，就与比较和跳转密切相关。

注意：ADD 不需要读取数据内存，不代表它不需要取指。 取加工工单和取加工原料，是两个不同动作。

本章自测

假设当前 PC 为 400，每条指令占 4 字节，机器刚取出一条 ADD。

1. 在上述顺序执行模型中，PC 接下来指向哪里？当前 ADD 又保存在哪里？
2. 控制器和 ALU 的工作有什么区别？用调度员与加工机器解释。
3. 为什么 ADD 得到结果之后，还可能需要一条 STORE？

第二章：计算机怎样表示和运算整数

上一章把数据交给 ALU 就能得到结果。先不拆电路，先弄清同一串比特怎样代表不同的数，以及运算规则从哪里来。

第一部分：二进制怎样表示数值？

1. 为什么一串 0 和 1 能表示数？

十进制里的 345，并不是把 3、4、5 简单摆在一起，而是：

1

3 个百 + 4 个十 + 5 个一

二进制使用同样的位权思想，只是每一位只能填 0 或 1，相邻位置的权重相差两倍。

把 4 位二进制想成四个格子，从左到右分别能放一张面值 8、4、2、1 的卡片。填 1 表示放入，填 0 表示不放。

例如 1011：

$$ 1\times 8+0\times 4+1\times 2+1\times 1=11 $$

核心理解：同一个 1 放在不同位置，贡献的数值不同。 不要只记“逢二进一”，还要知道每一位的权重。

2. 位数有限，能表示的范围也有限

四个格子，每格两种状态，一共有 $2^4=16$ 种组合。全部用于表示非负整数，就可以表示 0～15。

一般 n 位无符号整数的范围是：

$$ 0\le x\le 2^n-1 $$

类比： 只有两位的十进制计数器最多显示 99，无法直接显示 100；4 位二进制也没有无限的位置可以继续写。

第二部分：怎样给二进制数加上正负？

1. 最直观的方案：留一位表示符号

如果还要表示欠款，就不能只记录“有多少钱”，还得记录是拥有还是欠着。

原码的办法很直观：最高位表示符号，0 为正、1 为负，其余位表示绝对值。用 4 位举例：

1
2

0101：+5
1101：-5

类比： 两张金额都是 5 元的单据，一张贴“收入”，另一张贴“支出”。金额部分相同，标签不同。

2. 直观不等于适合直接运算

现在要算 $5+(-5)$。按常识应该是零，但如果把上面的整串编码直接送进普通二进制加法器：

1
2
3
4

  0101
+ 1101
------
1 0010

只留低 4 位，得到 0010，也就是 2，结果错了。

问题在哪里？ 加法器按位权处理整串比特，并不知道最高位被人另外贴上了“负号”的含义。就像会计把“支出标签的编号”也当金额加进账里，当然对不上。

原码可以表示负数，但做有符号运算时，需要额外处理符号、大小关系等情况。于是就有了新的需求：能不能设计一种编码，让负数也能更直接地使用加法硬件？

第三部分：补码为什么能统一加减法？

1. 先看钟表：往回走，也能换成向前走

在 12 小时的钟面上，从 3 点往回走 5 格，会到 10 点；从 3 点向前走 7 格，也会到 10 点。因为 7 和 -5 相差整整一圈。

固定宽度的二进制加法也有类似的“绕圈”现象。4 位只能保存 16 种状态，所以可以把它想成标了 0～15 的钟面：

1
2

1111 + 0001 = 1 0000
只保留低 4 位 → 0000

底层原理：保留 n 位加法结果，就是保留模 $2^n$ 的结果。 超出位宽的进位可以单独记录，但不会自动成为这 n 位的一部分。

2. 负数怎样对应到钟面上的位置？

在模 16 的意义下，往回走 1 格和向前走 15 格等效：

$$ -1\equiv15\pmod{16} $$

同样，往回走 5 格等于向前走 11 格：

$$ -5\equiv11\pmod{16} $$

于是可以用 1111 表示 -1，用 1011 表示 -5。4 位补码把 16 种状态解释成：

⚠️ 同一串比特，解释规则不同，数值就不同。 1110 按无符号数解释是 14，按 4 位补码解释是 -2。不是比特自己发生了变化。

3. “取反加一”为什么成立？

4 位正数 5 是 0101。逐位取反，相当于用 1111 减去它，也就是 $15-5$；再加 1，就得到 $16-5$：

1

0101 → 取反得到 1010 → 加 1 得到 1011

这正是 -5 在模 16 中对应的编码。

所以“取反加一”有它的来由：先得到差一圈的补数，再补上那一个 1。 记住模运算的原因，比孤立地背步骤更容易理解。

4. 用同一个加法器完成减法

重新计算 $5+(-5)$：

1
2
3
4

  0101    （+5）
+ 1011    （-5）
------
1 0000

低 4 位是 0000，结果为零。

再计算 $7-3$，把它改成 $7+(-3)$：

1
2
3
4

  0111    （+7）
+ 1101    （-3）
------
1 0100

低 4 位是 0100，结果为 4。

类比： 机器只擅长把钟表往前拨，我们就把“倒拨几格”换成“向前拨剩下的格数”。这样，加正数和加负数都能利用同一套加法电路。

5. 为什么 4 位补码只能表示 -8～7？

16 种编码分配给有符号整数后，0000～0111 表示 0～7，1000～1111 表示 -8～-1。零只占一个编码，因此负数一边比正数一边多一个。

一般 n 位补码的范围是：

$$ -2^{n-1}\le x\le 2^{n-1}-1 $$

⚠️ 补码没有让位数变多。 它让编码适合运算，但不能突破有限位宽的容量限制。

6. 进位和溢出不是一回事

刚才算 $5+(-5)$ 时，最高位之外有进位，但低 4 位的结果零是正确的。

再看 $7+1$：

1

0111 + 0001 = 1000

没有多出第五位，但 1000 按补码解释成 -8。两个正数相加却得到负数，这是因为真正的结果 8 已经超出 4 位补码的上限。

• 进位： 从某一位向更高位传出的位。
• 有符号溢出： 数学结果超出了当前有符号编码能表示的范围。

类比： 钟表能绕回去，不代表账本里“欠的钱”和“有的钱”也能随便绕。硬件留下了一个合法编码，不等于它还能表达你想要的数学结果。

本章自测

1. 1011 按 4 位无符号整数、4 位原码、4 位补码解释，分别是多少？为什么 -5 的四位补码是 1011？
2. 为什么补码可以把减法转成加法？
3. 为什么最高位有进位，不一定表示有符号溢出？

先解释编码规则，再用具体数值检查结果。

第三章：从逻辑门到 ALU

已经知道比特怎样表示数，接着把加法器拆开，从逻辑门逐步搭到 ALU，最后回到第一章的 ADD 指令。

第一部分：逻辑门怎样实现一位加法？

前面一直说“把两个数交给加法器”，但工厂里不能只有一块写着“我会加法”的牌子。现在要把这台加工机器拆开，看它究竟靠什么工作。

1. 逻辑门：只按固定规则办事的小开关

数字电路用不同的电平范围表示 0 和 1。逻辑门由晶体管等器件组成；在数字逻辑这一层，可以先把晶体管理解成受电信号控制的开关，再研究开关组合后的输入、输出关系。

类比： 车间门口有几个只认固定规则的检查员。它们不会读整张订单，只判断眼前的条件是否满足：

• AND（与）： 两个条件都满足才放行，相当于“有工牌，并且有通行许可”。
• OR（或）： 至少一个条件满足就放行，相当于“走人工验证或电子验证，任意一种通过即可”。两个都满足也通过。
• XOR（异或）： 两个输入不同时输出 1，相当于两盏灯中“恰好亮一盏”才算通过。
• NOT（非）： 把结果翻转，0 变 1，1 变 0。

⚠️ 或与异或的区别，就在两个输入都是 1 时：OR 输出 1，XOR 输出 0。 后面做加法，正好会用到这个区别。

2. 一位加法要给出两个答案

小学列竖式时，个位算出 12，要在个位写 2，再向十位进 1。二进制也是一样，只是满 2 就进位。

因此 $1+1$ 的二进制结果是 10：本位写 0，向高位进 1。 一个一位加法部件需要两个输出：

• Sum（S）： 留在本位的结果。
• Carry（C）： 送给高一位的进位。

把两个一位输入的情况全部列出来：

观察本位结果这一列：输入不同时是 1，相同时是 0，正好就是 XOR。再看进位：只有两个输入都是 1 时才产生，正好就是 AND。

$$ S=A\oplus B,\qquad C=A\land B $$

这就得到了半加器（Half Adder）：同一对 A、B 同时送入异或门和与门，分别得到 S 和 C。

核心原理：不需要电路“理解数学”。只要输入、输出规则与一位加法完全一致，电路就实现了这一位的加法。

3. 为什么只叫“半”加器？

假设算到十位时，个位已经向上进了 1。十位的工人不能只加两张原始单据，还要接收低位递过来的那张进位单。

半加器只有 A、B 两个输入，无法直接处理第三个输入。对于多位加法，还需要一个能同时处理 A、B 和低位进位 的部件。

第二部分：全加器怎样串起多位运算？

1. 全加器：把低位递来的进位也算进去

**全加器（Full Adder，FA）**有三个输入、两个输出：

• 输入：A、B、$C_{in}$（低位传来的进位）。
• 输出：S（本位结果）、$C_{out}$（传向高位的进位）。

类比： 每个工位收到两张本位单据，再接收前一个工位送来的进位单。凑够两个“1”，就向下一站换出一个进位，剩下的留在本位。

本位结果的规律是：三个输入里有奇数个 1，S 就是 1。因此：

$$ S=A\oplus B\oplus C_{in} $$

进位的规律是：三个输入中至少两个是 1，就要进位。因此：

$$ C_{out}=(A\land B)\lor(A\land C_{in})\lor(B\land C_{in}) $$

⚠️ 有些教材写成 $C_{out}=AB+AC_{in}+BC_{in}$，这里的乘表示与，加号表示或，不是普通算术加法。 三个输入全为 1 时，进位输出仍然只有一个比特 1。

2. 两个半加器加一个或门，就能组成全加器

不用从头发明一台机器，把刚做好的半加器组合起来即可：

1. 第一个半加器： 计算 A、B，得到临时和 T、进位 P。
2. 第二个半加器： 计算 T、$C_{in}$，得到最终的 S、另一条进位 Q。
3. 或门： 只要 P、Q 中有一个产生进位，就输出 $C_{out}=P\lor Q$。

1
2
3
4
5
6
7

A、B ──→ 半加器 1 ──→ T ──┐
             │             ├──→ 半加器 2 ──→ S
             P       Cin ──┘         │
             │                       Q
             └────────→ OR ←─────────┘
                         │
                        Cout

类比： 第一张工作台先处理两份原料，第二张再把前一站送来的补料加进去；两处产生的进位统一交给高位。复杂部件就是这样由简单部件拼起来的。

3. 四个全加器怎样处理一个四位数？

每一位安排一个全加器，把低位的 $C_{out}$ 接到高一位的 $C_{in}$。普通加法没有外部进位时，最低位的初始进位 $C_0=0$。

图中从左到右是低位到高位，蓝色横线传递进位，黑色竖线分别表示操作数输入和本位结果输出。最后读数要按高位到低位排列，即 S3、S2、S1、S0。

这叫串行进位加法器，也叫涟波进位加法器（Ripple Carry Adder）。就像接力：本位产生的进位，成为下一位的一个输入。

⚠️ “串行”说的是进位的依赖关系。 不是 CPU 每过一个时钟才算下一位，也不是所有输入必须排队才能进入电路。各位输入可以同时到达，但某些高位结果要等进位传播后才能稳定。

4. 逐位算一遍 5 + 7

这里先按 4 位无符号整数解释：$5=0101$、$7=0111$，从最低位 bit 0 开始。

按高位到低位把 S 拼起来，得到 1100，即无符号整数 12，最高位输出进位为 0。

⚠️ 如果改按 4 位补码解释，结论就不同。 5、7 都能表示，但结果 12 超出 -8～7 的范围，1100 会被解释成 -4，说明发生了有符号溢出。电路输出的比特没变，数值解释和是否越界的判断变了。

5. 位数多了，为什么会慢？

把四个工位增加到几十个，最坏情况下进位要一路传过去。例如 1111 + 0001，最低位产生的进位会不断影响高位。

逻辑门有传播延迟，导线传递信号也不是瞬间完成。进位依赖链越长，最坏情况下等待结果稳定的时间就越长。 这种延迟会影响电路能采用多短的时钟周期。

先行进位等更快的设计，就是设法减少逐级等待。这里先知道串行进位的瓶颈，不能据此认为所有真实 CPU 的加法器都简单串着几十个全加器。

第三部分：同一套电路怎样完成加减法？

1. 补码怎样变成实际电路？

前面知道减法可以转成加负数。在固定 n 位、保留低 n 位结果的意义下：

$$ A-B\equiv A+\overline{B}+1\pmod{2^n} $$

横线表示对 B 的 n 个比特逐位取反。现在已经有加法器，只要解决两件事：需要减法时把 B 取反，并且额外加 1。

类比： 工厂已经有一台加法机器，不必为了减法再建一条完全独立的生产线；先在进料口转换原料，再让同一台机器加工。

2. XOR：受控制的翻转开关

异或有两条特别有用的性质：

$$ B_i\oplus0=B_i,\qquad B_i\oplus1=\overline{B_i} $$

可以把它想成一个“翻面开关”：控制位为 0，卡片原样通过；控制位为 1，每张卡片的 0、1 全部翻转。

设置控制信号 SUB，规定 0 做加法、1 做减法。把 SUB 同时接到 B 每一位对应的异或门，得到：

$$ B'_i=B_i\oplus SUB,\qquad i=0,1,\ldots,n-1 $$

再把最低位全加器的输入进位设为 $C_0=SUB$，整台机器计算的就是 $A+B'+C_0$。

⚠️ SUB 要广播到 B 的每一位，不是只翻转最低位。额外的 1 则只送到最低位的输入进位端，不是给每一位都加 1。 其余各位接收前一级实际产生的进位。

3. 完整跑一次 5 - 3

设 A 为 0101，B 为 0011，SUB 为 1：

1
2
3
4
5
6
7
8
9

B       = 0011
B′      = 1100     （每一位与 SUB=1 异或）
C0      = 1

  0101
+ 1100
+ 0001
------
1 0010

保留低 4 位得到 0010，即 2。如果忘记让 C0 等于 1，就只做了取反，没有完成补码取负，结果会差 1。

这正是补码在硬件上的价值：加法和减法可以共用加法电路，用少量控制逻辑切换。

第四部分：电路怎样判断进位和溢出？

1. 同一组比特，两本不同的账

考虑四位加法：

1

1111 + 0001 = 1 0000

• 按无符号数解释： $15+1=16$，超出四位的 0～15 范围。最高位进位为 1，低四位不能独立表示完整结果。
• 按补码解释： $-1+1=0$，低四位 0000 正确，没有有符号溢出。

类比： 同一张编码单据交给两种记账规则，会得到不同的金额含义。加法电路计算比特，是否超范围必须结合位宽和数值解释判断。

2. 补码加法的判断：同号相加，结果变号

四位补码的范围是 -8～7。如果算 $7+3$：

1

0111 + 0011 = 1010

两个正数加出了被解释为 -6 的编码，发生溢出。同样，两个负数相加，结果若变成非负数，也发生溢出。例如 $-8+(-1)$ 的低四位会变成 0111，即 7。

补码加法的规则：两个操作数同号，结果的符号却与它们不同，就发生有符号溢出；异号相加不会发生有符号加法溢出。 这里讨论的是加法，不能把同一句判断不加区分地套到减法上。

3. 电路怎样检查溢出？

对 n 位加法，记 $C_{n-1}$ 为进入最高符号位的进位，$C_n$ 为符号位送出的进位。两者不同时，发生补码溢出：

$$ V=C_{n-1}\oplus C_n $$

又是一个 XOR。 这次它比较的是符号位两侧的进位，而不是两个操作数。看前面的四位 $5+7$：进入 bit 3 的 $C_3=1$，输出的 $C_4=0$，因此 V 为 1，和数值范围判断一致。

结论要分开说：最高位进位反映无符号加法是否超范围，有符号溢出反映补码结果是否超范围。 不能只盯着一个 Carry，就判断所有整数运算是否正确。

第五部分：ALU 怎样参与指令执行？

1. 加减法器不是完整的 ALU

CPU 除了加减法，还需要与、或、异或等操作。可以先构造一个简单的 ALU：把输入送给加减法模块和若干逻辑运算模块，再从这些模块的输出中选择一个作为结果。

类比： 同一批材料可以送到不同加工工位。调度员说“这次要加法结果”，出料口就接通加法工位；说“这次做按位与”，就接通与运算工位。

负责选择的部件叫 MUX（Multiplexer，多路选择器）：根据选择信号，从多个输入中选一个输出。它本身不负责把两个数相加。

1
2
3
4
5

A、B ──→ 加减法模块 ──┐
     ├→ AND 模块 ─────┤
     ├→ OR 模块 ──────┼──→ MUX ──→ Result
     └→ XOR 模块 ─────┘      ↑
                        结果选择信号

在这个教学模型里，控制器既要决定加减法模块的 SUB，又要决定 MUX 选择哪个模块。例如：

⚠️ ALUControl 的具体编码由设计决定。 不是所有处理器都用某组固定的 00、01 编码，也不是每种 ALU 都让所有模块一直同时工作。比较、移位等功能的组织方式也可能不同。

2. 回到 ADD：控制器到底控制了什么？

执行 ADD R3, R1, R2 时，现在可以把原先一句“ALU 做加法”拆开：

1. 寄存器堆提供 R1、R2 的值。
2. 控制器让加减法模块处于加法模式，即 SUB 为 0。
3. 加法电路根据各位输入和进位产生结果。
4. MUX 选择加法结果，写回通路在规定时刻把它保存到 R3。

对于能容纳 12 的位宽，例如 8 位，5 和 7 相加得到 00001100。至此，从指令到逻辑门的联系就具体了：操作码决定控制信号，控制信号选择数据通路，逻辑电路产生结果，寄存器保存结果。

3. 组合逻辑与时序逻辑：加工机器不等于仓库

刚才的半加器、全加器、MUX，以及这里的简单 ALU 数据运算部分，都属于组合逻辑：经过传播延迟、输出稳定后，结果由当前输入决定，不保存上次运算的状态。

类比： 计算器的加工部分负责“当前这批原料能算出什么”，它不是负责保存旧结果的账本。输入一变，输出也会随之变化，而不是自动把前一次答案留下来。

寄存器则必须能够保存之前写入的值，在允许更新时才接收新值。这需要时序逻辑，其行为与已有状态有关。PC、IR 也需要这种存储能力。

⚠️ “没有记忆”不等于“没有延迟”；“能保存状态”也不等于“断电不丢失”。 寄存器通常需要供电维持状态。至于触发器和时钟怎样实现受控更新，下一部分再继续拆。

本章自测

1. 半加器为什么需要 S 和 C 两个输出？它还缺哪个输入，才需要扩展成全加器？
2. 全加器输入 A、B、Cin 都为 1 时，S 和 Cout 分别是什么？能否用两个半加器推一遍？
3. 画四个全加器计算 0101 + 0111，标出每一级的进位。为什么按无符号数解释得到 12，按四位补码解释却发生溢出？
4. 设 A 为 0101、B 为 0011。SUB 为 0 和 1 时，B′、C0、低四位结果分别是什么？哪一种情况发生补码溢出？
5. 减法时为什么必须翻转 B 的每一位，又为什么只把额外的 1 接到最低位？
6. MUX 会做加法吗？如果加法器已经算出结果，为什么还需要寄存器和写回控制？
7. 为什么 1111 + 0001 有最高位进位却没有补码溢出，而 0111 + 0010 没有最高位进位却发生了补码溢出？

答题时分别说清电路怎样连、编码怎样解释、结果有没有超出范围，不要把三个层面混在一起。

更新于 2026-10-02。按程序执行、数的表示、运算电路组织已学内容。