泰勒公式笔记

泰勒公式

任务：想用多项式的形式拟合曲线。已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导。

$$ P_n(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \cdots + a_n(x-x_0)^n + \cdots $$

核心：找好系数 $a_i$。确保 $f(x)$ 和多项式函数 $P_n(x)$ 在 $x_0$ 的函数值相等，直到 $n$ 阶导相等。（注：$f(x) - P_n(x)$ 是 $(x-x_0)^n$ 的高阶无穷小）。

方法：通过求导代入等方法可得系数：

$$ a_0 = f(x_0), \quad a_1 = f'(x_0), \quad a_2 = \frac{f''(x_0)}{2!}, \quad a_3 = \frac{f'''(x_0)}{3!} \cdots $$

一、泰勒中值定理 1（皮亚诺余项）

定理内容：假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有直到 $n$ 阶的导数，则有：

$$ f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) $$

其中，$R_n(x) = o[(x-x_0)^n] \quad (x \to x_0)$ 称为皮亚诺余项。
该展开式称为 $f(x)$ 在点 $x = x_0$ 邻域的带皮亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式。

证明过程：
要证 $f(x) - P_n(x) = o[(x-x_0)^n]$，即证 $$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_n(x)}{(x-x_0)^n} = 0 $$

由洛必达法则以及 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导：

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - P_n(x)}{(x-x_0)^n} &= \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n-1)}(x) - P_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)} \\ &= \lim_{x \to x_0} \frac{[f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)] - [P_n^{(n-1)}(x) - P_n^{(n-1)}(x_0)]}{n!(x-x_0)} \\ &= \frac{1}{n!} [f^{(n)}(x_0) - P_n^{(n)}(x_0)] = 0 \end{aligned} $$

易错点批注：
证明的最后一步不能再求 $n$ 阶导。因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域是否可导并不清楚，只能利用导数定义来极限拆解。

二、泰勒中值定理 2（拉格朗日余项）

定理内容：设 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的区间 $(a, b)$ 内有直到 $(n+1)$ 阶的导数，在区间 $[a,b]$ 上有 $n$ 阶连续导数，则对任意 $x \in [a, b]$ 有：

$$ f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) $$

其中， $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$ （$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间）称为拉格朗日余项。
注：展开到 $n$ 阶，余项是 $n+1$ 阶。
该展开式称为 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式。

两种余项的区别：

成立条件不同：中值定理 2 对 $f(x)$ 的可导性要求更高。
$x$ 的取值范围不同：中值定理 1 需满足 $x \to x_0$，仅适用于求极限问题；中值定理 2 中 $x$ 可在区间 $[a,b]$ 上任取，更广泛适用于证明题和近似计算题。
余项 $R_n(x)$ 形式不同：皮亚诺余项适用于求极限，拉格朗日余项能具体估算近似误差的大小。

三、常用麦克劳林公式（$x_0 = 0$）

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x) $$

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_{2n+2}(x) $$

$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + R_{2n+1}(x) $$

$$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} + R_n(x) $$

$$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + R_n(x) $$

注：系数类似于组合数。

当 $\alpha = -1$ 时：

$$ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + R_n(x) $$

$$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + R_n(x) $$

四、核心考点：求泰勒展开式

例 1（直接法求拉格朗日余项）

题目：写出 $f(x) = x^2 \ln x$ 在 $x=1$ 处带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式。（注：展开到 2 阶，余项写 3 阶）

解答：
基本公式： $$ f(x) = f(1) + \frac{f'(1)}{1!}(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(\xi)}{3!}(x-1)^3 $$ 其中 $\xi$ 在 $1$ 与 $x$ 之间。

计算导数：

$$ f(x) = x^2 \ln x \implies f(1) = 0 $$

$$ f'(x) = 2x \ln x + x \implies f'(1) = 1 $$

$$ f''(x) = 2\ln x + 3 \implies f''(1) = 3 $$

$$ f'''(x) = \frac{2}{x} \implies f'''(\xi) = \frac{2}{\xi} $$

代入可得：

$$ f(x) = (x-1) + \frac{3}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3\xi}(x-1)^3 \quad (\xi\text{ 在 }1\text{ 和 }x\text{ 之间}) $$

例 2（首推间接法）

题目：写出 $f(x) = x e^x$ 带有皮亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式。

解答：
已知 $e^x$ 的展开式： $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) $$ 注：题目要求保留到 $n$ 阶，此处直接乘进去。

$$ f(x) = x e^x = x + x^2 + \frac{x^3}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{(n-1)!} + o(x^n) $$

例 3（变量代换的间接法）

题目：写出 $f(x) = \ln x$ 按 $(x-2)$ 的幂展开的带有皮亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式（即在 $x_0=2$ 处展开）。

解答：
先凑已知公式形式：

$$ \ln x = \ln(2 + x - 2) = \ln\left[2\left(1 + \frac{x-2}{2}\right)\right] = \ln 2 + \ln\left(1 + \frac{x-2}{2}\right) $$

利用 $$ \ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}t^n + o(t^n) $$ 令 $t = \frac{x-2}{2}$，得到：

$$ \begin{aligned} \ln x &= \ln 2 + \frac{x-2}{2} - \frac{\left(\frac{x-2}{2}\right)^2}{2} + \frac{\left(\frac{x-2}{2}\right)^3}{3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{x-2}{2}\right)^n + o((x-2)^n) \\ &= \ln 2 + \frac{1}{2}(x-2) - \frac{(x-2)^2}{2 \cdot 2^2} + \frac{(x-2)^3}{3 \cdot 2^3} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}(x-2)^n}{n \cdot 2^n} + o((x-2)^n) \end{aligned} $$